数学Ⅰ　三角比２

こんにちは、シュントです。

前回に引き続き、例題を使って、三角比の$\tan\theta$についてやっていきます。もし、$\sin\theta$や$\cos\theta$がわからない人がいれば、先に『数学Ⅰ　三角比１』をご覧になられることをおすすめします。

それではやっていきましょう！

今回も同様、最初は解けないはずなので、解答をみて、そこから見えてくる特徴をどんなことでもいいので、書き出してみるといいですよ！

例題と解答
三角比の説明($\tan\theta$)
三角比の相互関係
最後に

例題と解答

例題と解答を照らし合わせてみるとどうですか？

まず、前回から、本当に有名角しか出てないことにお気付きでしょうか。

三角比では有名角がほとんどです。なので、三角比の本質さえつかめばとても簡単だということです！

今回は例題が少なめですので、法則性を見つけることが難しいかもしれませんが、前回の例題と解答も含めて考えると、やはり、$0$、$1$、$\sqrt{3}$というような数が出てきていますね。

「定義なしってどういうこと？」って思われたかたもいるかもしれませんが、これは後ほど説明しますね。とりあえず答えはないと思っておいてください。

では、気付くポイントの例として、以下にまとめておきました。(今回はあまりなかったかもしれません。)

・$0$、$1$、$\sqrt{3}$という数がよく出る。

・有名角しかない。

など

今回の例題も、たったこれだけで終わりです！

三角比の説明($\tan\theta$)

まず、$\tan\theta$をひとことでいうと、

傾き　です！

どこの傾きかというと、下の図の三角形の斜辺(青線部)の傾きのことを$\tan\theta$といいます。

傾きと聞くとみなさんは何を思い浮かべますか。

そうですよね。

$傾き=\frac{yの変化量}{xの変化量}$

です！

2次関数などでおなじみの傾きです。

そして、前回にも言いましたが、$x$と$y$はいわゆる$\cos\theta$と$\sin\theta$のことでした。

ということは、次のように書き換えられます。

$\tan\theta=\frac{\sin\thetaの変化量}{\cos\thetaの変化量}$

ここで、変化量とは下の図のように、ある２点を取ってくることで求めることができます。

ですが、下の図のように、$\sin\theta$も$\cos\theta$も座標の$0$からの値でしたよね。

なので、$\sin\theta$と$\cos\theta$の値は常に、ある２点そのものを表しています。式では次のように書くことができます。

$\tan\theta=\frac{\sin\theta-0}{\cos\theta-0}$

$0$を省略すると、

$\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$

これは、よく使う三角比の公式です。教科書では三角比の相互関係の公式のひとつとして載せられていますね。

そして、$\tan\theta$が何を表しているのかもわかりましたね。

例題(1)では$\cos0°=1$、$\sin0°=0$より

$\tan0°=\frac{\sin0°}{\cos0°}=\frac{0}{1}=0$

です。

例題(2)では$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$、$\sin30°=\frac{1}{2}$より

$\tan30°=\frac{\sin30°}{\cos30°}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$

です。

といった感じで$\tan\theta$も$\sin\theta$や$\cos\theta$と同様に求めることができるようになりました。

ちなみにですが、$\tan90°=∞$となっていますよね。これは傾きが、とーっても大きいという意味なんです。傾きのある坂を想像してみてください。傾き$5°$、$30°$、$45°$、$60°$の坂があったとします。もちろん、数学では$\tan\theta$の値は角度が大きくなるにつれて大きくなっていきます($0°\leq\theta\leq90°$のとき)。ということは、傾きが$90°$あたりで、傾きは最大値を取りそうですよね。ですが、どんどん大きくなる値に限度を設けることができません。数値では表現できませんが、ただわかっていることは限りなく大きくなるということです。よって、無限大と表現したり定義なしと表現します。

それともうひとつ！

教科書では、よく$\tan\theta$をグラフから求めるときに、下の図のように、$\sin\theta$軸に平行な線分を$\cos\theta=1$のところに引いて、さらに三角形の斜辺を延長し、さっき引いた線分と交わる点の$\sin\theta$の値が$\tan\theta$と表現していることが多いです。

これがどういうことかというと、$\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$の式の$\cos\theta$の値を$1$にすることで、次のような式が成り立つのです。

$\tan\theta=\frac{\sin\theta}{1}=\sin\theta$

この考え方は、全く数学的ではありません。なぜなら、あたかも常に$\tan\theta=\sin\theta$が成り立つかのように誤解させ、さらに、せっかく三角比という斜辺の大きさを$1$にして、全員が同じ三角形を想像できるように、定義し便利にしたのに、それを無視しています。こういった考え方は本質を知った上で、理解することは良いですが、はじめて三角比を学ぶ者にとっては不適切だと考えます。

なので、みなさんはとにかく、$\tan\theta$は傾きであり、$\sin\theta$の変化量と$\cos\theta$の変化量から求めることができるということだけ知っておいてください。